数学算法俱乐部
日期：2020年11月10日
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来源：算数君
相对论的科普读物，也许是受到爱因斯坦最初表述的影响，普遍使用“在xx观测者看来”这类说法，而用于“看”的光又是相对论的核心元素，这种说法给读者一个严重的误导，似乎相对论所说的时空变化并不是“真正的”变化，而仅仅是一种观测者的视觉效果。
说起来，最符合“直观常识”的物理学是亚里士多德的理论，不过，现在但凡受过义务教育的人都能不费力的理解牛顿物理学的结论，当然只是理解结论，不是推导过程。所以我们就把牛顿的成果作为“直观常识”来展开讨论。
惯性定律： 在没有外力作用下，物体保持静止或者匀速直线运动。加速度定律： 加速度与受力大小正比，与物体质量成反比。时间和空间：时间和空间都是均匀分布的，时间和空间与物体的物理状态无关，时间和空间二者之间也无关，时间是单向流逝的。好，说完“直观常识”，下面开始颠覆了。很多人说相对论颠覆了牛顿力学。怎么颠覆的呢？核心就是“光速不变”这个事实和“光速不变”这个假设。你没看错，光速不变既是个事实，又是个假设。为什么会这样呢？这是因为日常语言是不够严谨的，“光速不变”这个表述包含了三个完全不同的含义。先看第一个含义，光的速度不随惯性系而改变。注意在这个语境下，光是必不可少、不可替代的，其他物体的速度都可以变化，只有光（电磁波）特立独行、与众不同。这个结论可以从麦克斯韦方程组推导出来，也已经被以迈克尔逊-莫雷实验为代表的一系列科学实测证明了，所以说这是个事实。洛伦茨通过对电磁波的研究已经得出了狭义相对论的核心公式：洛伦茨变换。但是，洛伦茨只是被物理学界认定为电磁学领域的杰出物理学家，并并不认为洛伦茨对相对论有重大贡献。为什么呢？因为洛伦茨认为洛伦茨变换仅仅为了解释电磁波传播机制所做的一种数学处理，不具有实际物理意义。爱因斯坦创立相对论的关键一步就是：大胆提出洛伦茨变换并不仅仅是一种数学处理，而是具有实际物理意义的。具有什么物理意义呢？这正是“光速不变”这个表述的另外两个含义。任何物体，只要运动速度达到了光的速度，更严谨地说是达到真空中的光速，都不会再随惯性系的改变而变化。这一层意思说的是任何物体都具有这个特性，这就把洛伦茨变换推广到所有物体，而不再局限于电磁波（光）了。抛开第三个含义，只从这两个含义就已经能看出来，在当时，光速不变既是一个已经被物理学界公认的客观事实，又是爱因斯坦锐意创新提出的假设。达到光速的物体的运动速度不随惯性系变化，那么，对没达到光速的物体的运动描述有变化呢？毕竟除了电磁波，已知其他物体的运动速度都比光速慢得多，要想推广到所有物体，必须把这些达不到光速的运动纳入进来才行。嗯，是有变化的，就是同一个物体，在不同惯性系的速度合成公式需要引入洛伦兹变换。这样引出了一个问题，在一个惯性系系中，不受外力而保持静止或匀速直线运动的物体，换一个惯性系，用洛伦兹变换进行速度合成后，它就既不静止又不做匀速直线运动了。也就是，违背惯性定律了？仔细捋一捋这件事，在一个惯性系中保持静止或匀速直线运动的物体，换一个惯性系就做变速非直线运动了。能不能让它变回静止或者匀速直线运动呢？仔细想一想，运动速度是由运动距离与运动时间决定的，这就好办了，为了让这个变速非直线运动变回静止或匀速直线运动，可以试试修改运动距离，不行再改运动时间，再不行就两个都改。换句话说，对同一个物体，换一个惯性系，就要修改空间大小和时间长短。怎么改呢？洛伦茨变换啊，跟速度的变换同步。也就是说，洛伦兹变换不仅用于变换速度，还用来变换空间大小和时间长度。经过变换后，运动速度越快，空间越小，时间越慢，即“空间收缩，时间膨胀”的尺缩效应、钟慢效应。这么折腾下来，还真把变速非直线运动变回静止或匀速直线运动了，牛顿第一定律保住了！嗯，在光速不变假设的前提下，为了牛顿第一定律成立，只能让空间和时间变化了。提一下双生子佯谬的前传：一对双胞胎，分别乘坐两艘宇宙飞船，相互间都在做近光速的匀速直线运动，也就是都是惯性系。以弟弟飞船做参考，哥哥的飞船上空间收缩、时间膨胀了。同理以哥哥的飞船做参考，弟弟的飞船上空间收缩时间膨胀了。究竟是谁的飞船上空间收缩、时间膨胀了呢？这里的回答是：都成立！这就是双生子佯谬吗？不，这对双胞胎分属不同参考系，相距十分遥远，且还越来越远，哪怕用光速通信，他们之间的信息交流时间也十分漫长。对于这样的两个参考系，时间、空间的比较无从谈起。没有比较，就没有谬论。真正的双生子佯谬，后面广义相对论再来讨论。前面讨论的是运动速度没有达到光速时的情形。现在看看“光速不变”的第三个含义，同样是爱因斯坦凭借天才直觉做出的大胆假设：光速是所有物体运动速度的极限，任何物体的运动速度不能超过光速。不能超过光速？怎么可能？根据牛顿第二定律，如果对一个物体持续加速，迟早会超过光速啊。嗯，仔细看一下牛顿第二定律：加速度与受力大小正比，与物体质量成反比。有办法了！参考上一段，为了让第一定律成立，我们对空间和时间做了手脚，现在为了让第二定律成立，那可以对受力和质量做手脚。爱因斯坦为了解决这个问题，实际做的是对质量动手，用了个质速关系公式，让质量随着运动速度增加而增加，速度达到光速时质量变成无穷大了，那就必须用无穷大的力才能继续加速。无穷大的力当然是不存在的，物体也就无法超光速了。这样，物体在静止时的质量称为静质量，运动时的质量称为动质量。为什么电磁波能达到光速呢？因为光子的静质量为零。好了，也就是说，在光速不变假设的前提下，为了牛顿第二定律成立，相对论牺牲了质量恒定性，让质量随着运动速度而变化。简单总结一下：“光速不变”是客观事实，又是核心假设，必须坚持。而另一方面，相对论无意颠覆牛顿力学三定律，不仅不想颠覆，而且还在想方设法让牛顿力学三定律成立。为了这个目的，相对论让恒定不变的空间、时间、质量都变成了可以伸缩的。伸缩，就是等比例放大或缩小。为什么会等比例呢？这个问题后面再说。本来，狭义相对论到这里已经足够完整了，却有个数学家闵可夫斯基觉得这些结论不够本质，在这些结论基础上又用数学手法倒腾了一把，然后得出一个耸人听闻的结论：宇宙中的所有物体，时时刻刻都在做光速运动，而且永远都会保持光速运动！这是什么情况？明明除电磁波之外的物体都是低速运动啊。连爱因斯坦最初看到闵可夫斯基这个观点都觉得是在装神弄鬼，纯粹是数学手法。不过在向广义相对论推进时，爱因斯坦意识到了闵可夫斯基观点的深刻洞察力，也就很快接受了。闵可夫斯基是怎么倒腾的呢？就是把时间间隔通过合适的量纲转换成空间距离。比如你待在草地上保持一秒钟静止不动，闵氏就说你跟草地一起以光速在时间中运动了一秒的距离，折合空间距离为1光秒。那如果在空间中运动了呢？还是刚才那个例子，如果你以光速的一半离开草地，那么草地在时间中运动了一秒后，你在时间中只运动了大约0.886秒，你比草地在时间中少运动的这大约0.114秒就转化为了大约0.057光秒距离的空间运动。换句话说，在空间中运动和在时间中运动是等价的，可以互相转移，这两种运动合成在一起称为在时空中的运动，速度永远是光速。当然，合成方法不是简单相加，而是根据洛伦兹变换来合成。如果一个物体在空间中的运动速度达到了光速，那么它的运动就全部转移到空间了，就无法在时间中运动了，电磁波正是这样的。到这里，狭义相对论的全部内容就说完了。总结一下：狭义相对论颠覆了牛顿力学里面时间、空间、质量的恒定性，指出这三个物理量跟随运动状态变动，时间和空间之间可以互相转化。但是，狭义相对论却坚持了牛顿力学三定律。理解广义相对论的关键：时间和空间不等比例的伸缩
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我们前面留了一个问题：为什么时间空间质量会等比例放大或缩小呢？这是因为讨论的都是惯性系，也就是那些不同的参考系互相之间都是在做匀速直线运动。这情况太特殊了，现实中根本找不到，只能是理论上的理想场景，针对这种理想场景的理论就是狭义相对论。要扩展到现实中常见的一般情况，就要进入广义相对论了。现实中常见的一般情况，当然是参考系之间的运动速度、方向等都随时在变化。不论是运动速度变化，还是运动方向变化，都统称为加速运动。对于互相做加速运动的参考系，它们之间空间、时间、质量的变化就都不是等比例了，而是在不停地变化，而且从数学上看，做的是连续变化。你是不是想到了“时空弯曲”这个术语？然而并不是，虽然我认为这种情形应该算时间和空间弯曲，但是很可惜，“时空弯曲”是个有严格定义的术语，它特指一种专门的弯曲情形，是爱因斯坦自称“一生最快乐的想法”所描述的那个场景下的弯曲。3.2 引力等效于加速度仅仅是个想法，并不是严谨结论这个爱因斯坦“一生最快乐的想法”是：引力等效于加速度。引力是一种力，加速度是一种运动状态，这两个等效是什么意思呢？设想在一个太空中熄火状态的宇宙飞船里，有一个失重状态的铁球悬浮在飞船中央。突然，飞船直线加速运动起来，铁球就会向飞船运动的反方向加速运动，好像受到了飞船的反向引力一样，由此得出引力等效于加速度。这种场景下飞船“好像受到”的这个力称为惯性力。并不是只有直线加速运动可以产生惯性力，改变方向的加速运动也能产生惯性力，典型的就是圆周运动的离心力，本质上也属于惯性力。本文后面还会再讨论惯性力，这里先看下引力等效于加速度这个想法能导出什么结果。加速运动可以让时间和空间弯曲，跟加速度等效的引力当然也有这个让时间和空间弯曲的能力。不过，这仅仅是爱因斯坦灵光一现的最初想法，并不严谨。经过后续深入思考，爱因斯坦发现并不是引力，而是质量造成了时间和空间的弯曲，所以更准确的说，应该是质量等效于加速度，这个弯曲正是广义相对论术语“时空弯曲”的定义。为什么爱因斯坦说这是他一生最快乐的想法呢？原因可以分为两点。第一，这个想法解释了引力的生成来源。有质量的物体造成的时空弯曲是尺缩钟慢，和高速一样，时空弯曲的度量称为曲率，这个曲率在质心最大，以质心为中心随距离增加而降低。所有物体都会自发的由曲率小的时空区域向曲率大的时空区域运动，表现为引力，这就是引力的来源。那个以广义相对论命名的“广义相对论方程”，就是用来计算有质量物体的引力。这个方程很复杂，是一个要用到黎曼几何的非线性二阶偏微分方程。牛顿的引力公式里面，引力与两个物体的质量乘积成正比。光的静质量为零，如果用牛顿的引力公式来计算，任何物体和光之间算出来的引力都是零。而如果用广义相对论的引力公式来算，只要一个物体有质量就可以造成时空弯曲，就可以产生引力，也就是光也会受引力影响。利用这个差别，造成了下面要说的第二点。第二，广义相对论是靠这个时空弯曲才一举成名，轰动整个物理乃至整个科学界。为什么要靠这个时空弯曲才能成名呢？因为新物理理论要想得到认可，必须要有实验验证。若想用加速度的手段验证广义相对论，需要的加速度太大，超出了当时的实验条件。如果用质量引起时空弯曲来验证，只需要质量足够大就行，而质量足够大的物体在宇宙中多的是，当时的天文观测条件完全可以验证。事实上，在广义相对论公式提出短短四年后，天文观测就证实了光确实受引力影响，而且偏转数值和广义相对论公式计算的结果相同。总结一下，之所以这是爱因斯坦一生最快乐的想法，是因为这个想法得到了新的引力公式，而且这个成果很容易检验。终于要说到真正的双生子佯谬了，这是广义相对论的经典问题，借这个问题可以深入讨论下惯性系、惯性力等问题。问题描述：在太空中。一对双胞胎分别坐在两艘宇宙飞船上，弟弟停留不动，哥哥高速飞一年，然后哥哥再回来，这样在哥哥飞行两年后兄弟相聚。注意，兄弟相聚了，回到同一参考系了，这样就可以比较时间了。站在弟弟的角度，是哥哥在做高速运动，飞走又飞回来，所以是哥哥的时间变慢了，比如哥哥过了两年弟弟过了四十年，那么兄弟相聚后弟弟就比哥哥老了三十八岁。但运动是相对的，站在哥哥的角度，可以说是弟弟在高速飞走又飞回，那么就是弟弟的时间变慢了，哥哥过了两年弟弟只过了一个多月，是哥哥比弟弟老了差不多两岁。到底谁变老了呢？这个问题的关键在于，两艘飞船并不对等。弟弟的飞船停留不动，所以弟弟的飞船是惯性系，所以是哥哥的时间变慢，弟弟变老了。为什么说弟弟的飞船是惯性系，哥哥的飞船不是惯性系呢？这里提供两种解释，一种是根据定义解释，一种辅助解释。根据定义解释，惯性定律成立的参考系是惯性系。可以参考前面说的悬浮在飞船中的铁球，弟弟飞船中的铁球将一直保持失重悬浮状态，也就是与飞船保持相对静止。而哥哥的铁球在飞船改变运动速度或者运动方向时都会动起来，无法与飞船保持相对静止。由此判定弟弟的飞船是惯性系，哥哥的飞船不是惯性系。而哥哥飞船中导致铁球动起来的惯性力，本质是飞船在动。辅助解释，我们说弟弟的飞船“停留不动”，哥哥的飞船“飞走又飞回”是拿什么做参考，跟什么比较得出来的呢？是跟平直时空比较的。当然，绝对的平直时空是不存在的，只能尽量接近。设想宇宙中一处，周围几百光年内都没有物质，宇宙如此空旷，这样的空间还是能找到很多的，这样的空间就可以近似看做平直时空。弟弟的飞船相对于这个平直时空保持静止，哥哥的飞船则相对这个平直时空在做加速运动。在哥哥的飞船改变运动速度或者运动方向那一刻，哥哥飞船上的铁球，相对于平直时空保仍然持静止。这样更容易理解前面的结论：导致铁球动起来的惯性力，本质是飞船在做加速运动。当然，更一般的情况是两艘飞船都不是惯性系。这种情况就得分别计算他们相对于惯性系，也就是相对于平直时空的时间改变情况，然后再来比较。这个图虽然很形象，但是需要注意它跟相对论里面的时空弯曲之间有三点不同：第一，这幅图里面的球，是在引力作用下才去压弹簧床，然而相对论里面的时空弯曲是物体的质量本身引起的，只跟时空和物体有关系，没有额外的因素参与。第二，在这幅图像里面，空间弯曲后距离变长了。然而相对论的结论是，弯曲空间的长度比平直空间的长度缩短了。第三，这幅图演示的是二维平直空间通过向第三个方向延伸实现的弯曲，引入了额外的维度。相对论里面的时空弯曲没有引入额外维度，就在原来的四维时空中弯曲。以上三点，重要性依次增加。在此基础上，先看一下空间弯曲对光线的影响：如图大质量天体引起空间弯曲，按照平直空间，光线本来应该沿着红色路径行进，由于空间弯曲，变成了沿着紫色路线行进。要正确理解这幅图，也要强调三点：第一，质量引起的空间弯曲的距离是无限的，应该整个光线都有所弯曲。当然，随着距离增加，弯曲程度会迅速下降。这里为了表达方便只让中间部分弯曲。第二，图中所示的紫色弧形线段，其长度比红色直线线段长。在实际的空间弯曲中，弯曲后的光线长度是缩短了。第三，图中一维的光线在二维平面上弯曲。实际的空间弯曲中，先不考虑时间，三维的光线就在三维中弯曲，没有额外维度。大质量天体弯曲时空引起光线弯曲，如果弯曲程度达到一个极限，让光线的行进路径成为一个环，或者更进一步落到天体上，那就是黑洞了，让光线成环的临界位置称为视界。关于黑洞，广为流传是类似如下的图：这类图跟演示时空弯曲的图的思路一脉相承，那么还是那三点问题要注意。这又是继承了前面黑洞的思路，还是那三点问题，但是到了虫洞这里，向额外维度延伸这一点的误导性就有点严重了。相对论的虫洞，是解广义相对论方程得出来的。广义相对论方程是一个非线性二阶偏微分方程，有十六个变量，求解十分困难，只能求数值解。在某些解中，可以得到不同的时空点粘合在一起的结论，有些科学家把这样的解的物理意义说成是虫洞，也有些科学家认为没有物理意义，比如爱因斯坦本人虽然也得出了一类能把时空粘合到一起的解，但是他不认为这些解有物理意义。这里按照虫洞解释来讨论。先明确前提，必须存在黑洞天体才能造成虫洞。然后分析具体情况，有一些解需要时空的曲率是负数或者虚数，被解释为黑洞天体造成的时空曲率过大，导致时空破裂，破裂点重新组合，从而构成虫洞，这种虫洞极不稳定，转瞬即逝。另一些时空曲率都是正实数也能出现时空粘合的解，那就要看其他参数，比如黑洞天体并不是正球形，而是椭球、圆饼或者其他更不规则的形状，引起时空曲率的特定变化，或者宇宙本身在做运动，再或者借助于暗物质、奇异物质这些目前假设中的东西。甚至还有这种说法：在黑洞视界内，现有的物理理论都不适用，需要新的物理理论，这就可以自由发挥来解释了。总之，虫洞的理论依据是广义相对论方程的时空粘合解，其他东西都是假设，到目前没有任何实测证据。最后提一下宇宙膨胀。根据广义相对论，天体会引起时空弯曲，然后天体还在不停地运动，这样一来，宇宙不可能是静态稳定的，必须时刻变化。这一点让爱因斯坦很恐慌，根据当时的天文观测，爱因斯坦认为宇宙是静态的，所以加了个宇宙学常数，这个常数唯一的作用就是抵消时空弯曲带来的不稳定。结果后来天文学家哈勃观测发现宇宙确实不稳定，在持续膨胀，爱因斯坦就取消了这个常数，并自称这是“一生中最大的错误”。此后的宇宙学研究中，又些人发现宇宙确实应该有个常数，只不过数值比爱因斯坦当初加上去的要小很多。